Halaman
69Operasi AljabarSebelum kita membahas mengenai operasi aljabar, sebaiknya kalian simak terlebih dahulupermasalahan di bawah ini.1.Jumlah dua bilangan bulat positif yang berurutan adalah 15. Dapatkah kalian menentukankedua bilangan tersebut? Untuk menjawab permasalahan di atas kalian dapat membuatsuatu kalimat matematika. Misalkan bilangan pertama n dan bilangan berikutnya adalah (n+ 1), sehingga kalimat matematika yang dimaksud adalahn + (n + 1) = 15Selanjutnya, bagaimanakah menyelesaikan bentuk aljabar tersebut?2.Suatu bilangan ditambah dengan 8 kemudian dikalikan dengan 3, lalu dikurangi dengan 24,hasil akhirnya dibagi dengan bilangan semula. Bilangan berapakah itu? Sama halnya denganpermasalahan nomor 1, terlebih dahulu kita membuat kalimat matematikanya, misalkanbilangan yang dimaksud adalah x, maka[{(x + 8)3} – 24] : x.Selanjutnya sama dengan nomor 1.Pada bab ini, kalian akan mempelajari mengenai bentuk aljabar, operasi serta penggunaannyadalam pemecahan masalah, seperti contoh-contoh di atas.OPERASI ALJABAR2iSukui VariabeliKonstantaiSuku SejenisiKoefisieniSifat PerkalianTUJUAN PEMBELAJARANSetelah mempelajari bab ini, siswa diharapkan mampu1. menjelaskan pengertian suhu, faktor, suhu sejenis, dan suhu tidak sejenis,2. menyelesaikan operasi hitung suhu sejenis dan tidak sejenis,3. mengunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk memecahkan masalah,4. menyelesaikan operasi hitung pecahan, dan5. menyederhanakan hasil operasi pecahan.
70Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7A. BENTUK ALJABARPada bab sebelumnya kalian telah mempelajari perkalian suatu bilangan bulat, yaitupenjumlahan berulang dari bilangan bulat tersebut.Misalnya:3 u 4 = 4 + 4 + 44 u 5 = 5 + 5 + 563=6 u 6 u 6Apabila bentuk perkalian di atas diuraikan dalam bentuk aljabar maka akan diperoleh bentuk-bentuk sebagai berikut.3 ua =a + a + a = 3a4 ux =x + x + x + x = 4x4 up =p + p + p + p = 4py3 =yuyuyBentuk-bentuk 3a, 4x, y3, 5x2 + 4, dan sebagainya disebut bentuk aljabar. Suatu bentukaljabar memuat huruf dan bilangan. Huruf ini disebut variabel. Bilangan pada bentuk aljabaryang mengandung variabel, disebut koefisien, sedangkan bilangan yang tidak mengandungvaiabel disebut konstanta.Misal:1.Pada bentuk aljabar 3a, 3 disebut koefisien a dan a disebut variabel.2.Pada bentuk aljabar 2n + 5, 2 disebut koefisien n, n disebut variabel, dan 5 disebutkonstanta.Pada bilangan bulat, apabila ditulis a = buc, maka b dan cdisebut faktor-faktordari a.Sedangkan dalam bentuk aljabar, apabila ditulis 3 (x + 2), maka 3 dan (x + 2) disebut faktor-faktor perkalian. Perhatikan bentuk aljabar berikut.5x2 + 2x + 7y – 3y + 10Bentuk aljabar di atas terdiri dari 5 suku, yaitu 5x2, 2x, 7y, –3y, dan 10. Bentuk ini memiliki satusuku sejenis, yaitu 7y dan –3y. Dalam bentuk aljabar, suku-suku yang sejenis hanya berbedapada koefisiennya saja.Contoh 2.1Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. 3 u ab.yuyuyuyc. 5pPenyelesaian:a. 3 u a = 3ac. 5p = p + p + p + p + pb.yuyuyuy = y4
71Operasi AljabarContoh 2.21.Tentukan besar koefisien y dengan bentuk-bentuk aljabar berikut.a. 5x2 + 6y – 7b.3x2 – 4py + 2y2Penyelesaian:a. koefisien y dari 5x2 + 6y – 7 adalah 6b. koefisien ydari 3x2 – 4py + 2y2 adalah –4p2.Tentukan suku-suku yang sejenis dari bentuk-bentuk aljabar berikut.a. 3m + 2n– 5m + 12b.4x – 2xy + 3y – x + 3xyPenyelesaian:a. Suku-suku sejenis pada 3m + 2n – 5m + 12 adalah 3m dan –5m.b. Suku-suku sejenis pada 4x– 2xy + 3y – x + 3xy adalah(1) 4x dan –x(2) –2xy dan 3xy3.Tentukan banyaknya suhu pada bentuk-bentuk aljabar berikut.a. 3x – 2c.y3 – 2y2 + 3y – 5b. 3x2 + 2x – 1Penyelesaian:a. Banyaknya suku pada 2x – 2 adalah 2, yaitu 2x dan –2.b. Banyaknya suku pada 3x2 + 2x – 1 adalah 3, yaitu 3x2, 2x, dan –1.c. Banyaknya suku pada y3 – 2y2 + 3y – 5 adalah 4, yaitu y3, –2y2, 3y, dan –5.B. OPERASI HITUNG BENTUK ALJABARSebelum kita membahas mengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya terlebihdahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku banyak dan tentangsubstitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikancontoh berikut ini.1.2(a + 3) = 2a + 6 (sifat distributif)2.– (x – 3) = – x + 33.3m(x + 2y + 3) = 3mx + 6my + 9mJika pada bentuk aljabar 3x + 5y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti dengan4, maka diperoleh:3x + 5y= 3(2) + 5(4)= 6 + 20Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi.
72Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 71. Penjumlahan dan PenguranganSifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada bentukaljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukanpada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabardapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini.Contoh 2.31.3x + 5x = (3 + 5)x = 8x2.5a – 3a – 2a + 4a = (5– 3 – 2 + 4)a = 4a3.7a + 5b + a – 2b = 7a + a + 5b – 2b = (7 + 1)a + (5 – 2)b = 8a + 3b4.5x + 3y + 6Operasi penjumlahan pada bentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku-sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis.5.Kurangkan bentuk aljabar berikut.a. 8x –4y dari 5x – 7yb. 6x2 + 5x + 2 dari 7x2 + 2x – 3Penyelesaian:a. 5x – 7y – (8x – 4y)=5x – 7y – 8x+ 4y=–3x – 3yb. 7x2 + 2x – 3– (6x2 + 5x + 2) = 7x2 + 2x– 3 – 6x2 – 5x – 2=x2 – 3x – 56.Sederhanakanlah bentuk berikut.a. (x – 5y + 2z) + (–10x + 3y – 10z)b. (2x2 + 5x + 3) – (x2 + x – 3)Penyelesaian:a.x – 5y + 02zb.2x2 + 5x + 3 –10x + 3y – 10z+ x2 + 5x – 3 +–9x – 2y – 08zx2 + 4x + 6LATIHAN 2.11.Tuliskan pernyataan-pernyataan berikut dalam bentuk aljabar.a. Keliling suatu persegi panjang adalah 56 cm.b. Jumlah dua bilangan asli yang berurutan adalah 25.c. Jumlah pangkat dua dari dua bilangan.d. Pangkat dua dari jumlah dua bilangan.
73Operasi Aljabar2.Tuliskan bentuk-bentuk berikut dalam bentuk aljabar yang paling sederhana.a. –10x – 2x + 3d.xy – 3xy + 6y – 8y + 3b. 7a – 5b + 10a + 15be. (5p – 7q + 5) – (3p + 8q – 10)c. 16q – 5t + 6q + 8tf.–3(3x – 6y) + 5(4x – 3y)3.Tentukan besar koefisien x dari bentuk-bentuk aljabar berikut ini.a. 5x2 + 7x – 3c.7x2 + 5xb. 3ax + 5byd.2x2 – 5ax + 34.Sebutkan suku-suku sejenis dari bentuk-bentuk aljabar berikut.a. 5x2 – 7x + 8x + 5c.3x3 + 2x2 – 2x3 + x2 – 4x + 8xb.y2 – 2y + 3y2 + 4y + 35.Sederhanakan bentuk aljabar berikut.a. –3x – 6y + 2zc.–2a + 3b – 5c–5x – 3y – 3z–3a + 2b – 2cb.–2p + 3q – 8d.–3m – 4n + 8–3p + 2q – 5–2m + 7n – 36.Uraikan bentuk-bentuk aljabar berikut.a.5(a + 2b) + 3(3a – 4b)c.8(p + 2q) + 3(6p – q)b. 4(5a – 4b) – 2(5a + b)d.–2(3p – 7q) – (2p – 5q)7.Kurangkanlah bentuk aljabar berikut.a. 6a + 6 dari 8a+ 43bc. 4(x2 – y2 – 2) dari 5x2 – 3y2 – 2b.x2 –x dari 3x2 + 6x + 58.Untuk x = 2, hitunglah nilai dari:a. 2x + 3d.4xb.x – 6e.–7x + 3c. 3x – 5f.x2 + x – 59.Untuk x = 3, y = –5, dan z = 4, hitunglah nilai dari:a. 3x – 7y + 4zd.x(z + y) – y2b. –3x – 2y + 7ze.x2 + y2 – z2c.x2 + y210. Nilai ujian matematika dari Tina 15 lebihnya dari nilai matematika Tini.a. Jika nilai Tini dimisalkan x, nyatakan nilai Tina dalam xb. Tentukan jumlah nilai mereka dalam x.11. Dua buah persegi dengan panjang ini masing-masing adalah 3x dan 5x cma. Nyatakan jumlah keling persegi tersebut dalam x.b. Nyatakan jumlah luas persegi tersebut dalam x.c. Jika x = 4, hitunglah jumlah keliling dan jumlah luas kedua persegi tersebut.12. Umur kakak sekarang adalah 28 tahun. Tujuh tahun kemudian umur kakak sama dengan212 kali umur adik. Tentukanlah berapa umur adik sekarang.
74Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 72. Perkalian dan Pembagian Suku Sejenis dan Tidak SejenisKalian telah mempelajari konsep perkalian dan pembagian bilangan bulat. Konsep tersebutjuga berlaku untuk menentukan perkalian dan pembagian suku-suku bentuk aljabar.Untuk a bilangan real, az 0 dan m dan n bilangan bulat, maka berlaku:: ;mn mnmn mnmnaa aaa a!u ##Contoh 2.41129696335 35 832 321. a. c. : b. d. 12: 43aa aaa a aaaa aaab abu u 323232432524182. a. 42(4 2)8 c. 18: 636 b. 3515d. 14: 72abab aba aaaab ababxyxyyu uuu u LATIHAN 21.Sederhanakanlah.a. 5 u 3 uau bc. 5 ua2u (–2b) u (–a)b. 3 umu 4 unu md.5 ua2u (–2b) u (–a)2.Sederhanakanlah bentuk berikut.a. (2a2) u (5a2b2)c.(–3ab3) u (–3a4b2)b. (–3ab3) u (–3a4b2)3.Sederhanakanlah pembagian berikut.a.2102abac.5342186ababb.2332124ababd.5253015abab4.Diketahui:x = 3a + 5by = 7a – 3bHitunglah:a. 2x + yc. –x – 2yb. 2x– 3yd.x + y5.Sebuah persegi panjang dengan panjang (3x + 5) dan lebarnya 2x. Hitunglah luas pesegipanjang tersebut.
75Operasi Aljabar##3. Perpangkatan Suku Sejenis dan Tidak SejenisKonsep perpangkatan pada bilangan bulat yang sudah kalian pelajari pada bab 1, jugaberlaku untuk menentukan perpangkatan suku-suku bentuk aljabar, yaitu:Untuk a, b bilangan real a, b, z 0, m dan n bilangan bulat berlaku sifat:()()()()mnm nmmmmmnmnaaaba bababuuu uu uContoh 2.5Pangkatkanlah bentuk aljabar berikut.a. (x3)2b. (3p2)3c. (xy)5d. {(3p3q2)3}2Penyelesaian:323 262332 36555323233 32 323 29 26 261812a. ()b. (3)327c. ()d. {(3) }(3)33xx xpppxyxypqpqpqpquuuuuu u u u u uu u u18 12729pqLATIHAN 2.3Sederhanakanlah perpangkatan bentuk aljabar di bawah ini.1.a. (y2)3c.(–2p2q)3e. (–a2b2)4b. (3a4)3d.(9x3y5)22.a. (b2c3)2c.((–2x2yz3)2)3b. (2x2y3)4d.(6 u 3y4)2 : 18x6y3.a. (–8x2y3z5)3c.(–21x2y2z2)2 : (21x2y2z2)2b. (–81mn)2 : 34mn
76Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 74. Sifat Perkalian Bentuk Aljabar dan PenerapannyaSifat-sifat perkalian:1.ab = ba, komutatif2.a(b+ c) = ab + ac, distributif perkalian terhadap penjumlahan3.a(b – c) = ab – ac, distributif perkalian terhadap pengurangan4.abc = (ab)c = a(bc), sifat asosiatif.a. Perkalian suatu Bilangan dengan Suku Dua atau LebihUntuk menyelesaikan soal-soal perkalian ini digunakan sifat distributif.Contoh:a.5(2x + y) = 10x + 5yb.(2 – 5a)3a = 2(3a) – 5a(3a) = 6a – 15a2c. 3a(a2 + 2a – 3) = 3a(a2) + 3a(2a) + 3a(–3)=3a3 + 6a2 – 9aSifat distributif perkalian terhadap penjumlahan sangat diperlukan untuk mempermudahmencari hasil perkalian dua bilangan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikutini.a. 5 u 36 = 5(30 + 6) = 5 u 30 + 5 u 6 = 150 + 30 = 180b.9 u 74 = 9(70 + 4) = 9 u 70 + 9 u 4 = 730 + 36 = 666c. 6 u 235 = 6(200 + 30 + 5) = 6 u 200 + 6 u 30 + 6 u 5= 1200 + 180 + 30 = 1410b.Perkalian Suku Dua dengan Suku DuaMisalnya (arb)(crd). Untuk menyelesaikan perkalian ini digunakan sifat distributif,yaitu:(arb)(crd) = a(crd) r b(cr d)=acradrbcrbdDengan cara perkalian di atas dapat kalian perluas menjadi perkalian suku dua dengansuku tiga atau suku tiga dengan suku tiga dan seterusnya.Contoh:a. (x + 2)(2x – 1)=x(x + 2) + 2(2x – 1)=x2 + 2x + 4x – 2=x2 + 6x – 2b.(2x –3)(x2 + 2x – 4) = 2x(x2 +2x – 4) – 3(x2 + 2x – 4)=2x3 + 4x2 – 8x – 3x2 – 6x + 12=2x3 + x2 – 14x + 12
77Operasi AljabarPenggunaan sifat perkalian (arb)(crd) = acradrbcrbd untuk menentukan hasilkali dua bilangan.Contoh:a.35 u 56= (30 + 5) (50 + 6)= 30(50 + 6) + 5(50 + 6)= 1500 + 180 – 250 + 30=1960b.45 u 74= (40 + 5)(70 + 4)= 40(70 + 4) + 5(70 + 4)= 2800 + 160 + 350 + 20=33305. Perkalian IstimewaApabila pada perkalian (arb)(crd) dilakukan beberapa perubahan, maka akan diperolehbentuk-bentuk perkalian istimewa.1.Untuk c = a, maka(a + b)(c + d) (a+ b)(a + d) = a2 + (b + d) a + bd(a – b)(c – d) (a– b)(a – d) = a2 – (b + d) a + bdContoh:(x + 3)(x + 5) = x2 + (3 + 5)x + 3 u 5 = x2 + 8x + 152.Untuk c = a dan d = b(a + b)(c + d) = (a + b)(a + b) = (a + b)2 – a2 + 2ab + b2Contoh:(x + 5)(x + 5) = (x + 5)2 = x2 + 10x + 253.Untuk c = a dan d = b(a – b) (a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2Contoh:(x – 9)(x– 9) = (x – 9)2 = x2 – 18x + 814.Untuk c = a dan d = b(arb)(c#d) a2 – b2Contoh:a. (x + 3)(x– 3) = x2 – 9b. (2x + 3)(2x – 3) = 4x2 – 9Sifat-sifat perkalian istimewa bentuk aljabar dapat digunakan untuk menentukan hasil kalibilagnan-bilangan dengan cara yang paling mudah. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut:
78Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh:1.25 u 28 = (20 + 5)(20 + 8)= 202 + (5 + 8)20 + 5 u 8= 400 + 13 u 20 + 40= 400 + 260 + 40=7002.56 u 54 = (50 + 6)(50 + 4)= 502 + (6 + 4)50 + 6 x 4= 2500 + 500 + 24=30243.49 u 41 = (40 – 9)(40 + 1)= 402 + (9 + 1)40 + 9 u 1= 1600 + 400 + 9=2009Hasil kali dua bilangan yang angka puluhannya sama dan jumlah angka satuannya 10 dapatdiperoleh dengan cara yang lebih mudah lagi. Misalnya:23 u 27 = 62151 u 59 =330092(2 + 1)= 65(5 + 1) = 303 u 7=621 1 u 9 = 9 ditulis 094.54 u 46 = (50 + 4)(50 – 4)= 502 – 42= 2500 – 16=2484LATIHAN 2.41.Tentukan hasil kali bilangan berikut dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadappenjumlahan.a. 4 u 75c.9 u 72e.8 u 325b. 6 u 84d.4 u 215f.5 u 2752.Gunakan rumus (a + b)(c + d) untuk perkalian berikut.a. 24 u 26c.53 u 57e.81 u 89b. 45 u 43d.62 u 68f.96 u 943.Gunakan rumus (a + b)(a – b) untuk menyelesaikan perkalian di bawah ini.a. 43 u 37c.74 u 66e.95 u 85b. 56 u 43d.57 u 434.Selesaikan perkalian bilangan berikut dengan menggunakan sifat-sifat perkalian.a. 8 u 245c.82 u 87e.84 u 75b. 65 u 64d.7 u 324f.92 u 88nnnn
79Operasi AljabarC. OPERASI BENTUK PECAHAN ALJABARBentuk pecahan aljabar adalah bentuk pecahan yang pembilang atau penyebut atau kedua-duanya memuat bentuk aljabar. Misalnya 5 4, , , 322xxpxyxy dan sebagainya.1. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan AljabarKonsep penjumlahan dan pengurangan yang telah kalian pelajari pada bilangan pecahanjuga dapat digunakan untuk operasi hitung bentuk pecahan aljabar.Bentuk pecahan aljabar yang akan kalian pelajari hanya bentuk pecahan yang berpenyebutsuku tunggal.Contoh 2.61.Tentukan hasilnya dalam bentuk yang paling sederhana.a.25 + xxb.53 + 24aac.85xxd.4537xxPenyelesaian:a.252 57 = xxx x c.858 53 = xxx x b.5310 3 13 + = 244 4 4aaa a a d.45281513 = 37212121xxx x x 2.Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan berikut ini.a.3 + (10 2 )5xxyb.3 52 738xxPenyelesaian:a.3 + (10 2) 3 + 10 2 10 = = 555xxxxxyyyc.3 52 735xx=5(3 5)3(2 7)1515xx=15 25 (6 21)15xx =15 25 6 219 4 = 1515xxx
80Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7LATIHAN 2.51.Sederhanakanlah pecahan-pecahan aljabar berikut.a.2355xxc.5283xxb.5677xxd.12658xx2.Selesaikanlah pengurangan pecahan-pecahan aljabar berikut dan nyatakan hasilnya dalambentuk yang paling sederhana.a.85aac.543cmmb.5363appd.4681257 93xxyy§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹3.Selesaikanlah pecahan-pecahan aljabar berikut.a.3 5 564aad.3 8 354xxb.3(5 6)2( 4)45aae.3(4 )5(2 )3xyxyxyc.2 7 654yyf.3(2 )5(2 )3xyxyxy4.Ditentukan pecahan aljabar 2 143aaa.a. hitunglah nilai pecahan aljabar di atas untuk a = 3.b. sederhanakanlah pecahan aljabar tersebut.c. hitunglah nilai pecahan yang sudah disederhanakan pada soal (b), untuk a = 3.d. perhatikan nilai a dan c, apakah sama?2. Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Pecahan Aljabara. Perkalian dalam Bentuk Pecahan AljabarPada perkalian dua pecahan aljabar dilakukan dengan cara, pembilang dikalikan pembilangdan penyebut dikalikan penyebut.
81Operasi AljabarContoh 2.7Nyatakan hasilnya dalam bentuk paling sederhana.a.253abub.3225bauc.2 334ppqquPenyelesaian:a.22 253 5 3 15ab ab abuu ub.32 6 325105bbbaaau c.22 3(2 3)2 3343 4 12ppqppqppqqu uLATIHAN 2.6Nyatakan hasilnya dalam bentuk paling sederhana.1.a.35xyyuc.72214bbue.22485pbabub.46aaud.1057abbacuf.4ab abc duu2.a.2323689274axaaxxuud. 3854xyyayub.3 8364yabaue.289 93abb§·u ̈ ̧©¹c.222512 2610bcabacbuub.Pembagian Bentuk Pecahan AljabarMembagi suatu bilangan atau pecahan dengan suatu pecahan sama dengan mengalikannyadengan kebalikan pecahan tersebut. Misalnya 35a kebalikannya 53a.
82Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh 2.8Tentukanlah hasil bagi pecahan aljabar berikut.a.23 : 34abb.223 : 4ppqqc.9 63 : 52xxxPenyelesaian:a.23 2 4 8 : = 34 3 3 9bbab aau b.222222344 : = 334ppp qpqqqppqqu pembilang dan penyebut sama-sama dibagi pq maka 2244 = 33pqpqpq.c.229 639 62(9 6 )218 12 : 52 5 52525xxxxxxxxxx u LATIHAN 2.71.Sederhanakan pembagian pcahan berikut.a.25 : xyd.2 : pprrb.23 : 34abe.239 : 6aac.2416 : 321xxf.23324662 : 410pqababp q2.Nyatakan hasil bagi dalam bentuk paling sederhana.a.2334189 : 66ababaac.23224243 : 8abcabcbub.5 + 73 : 510xxxd.6 32 : 43aaaac.Perpangkatan Pecahan AljabarHasil pangkat dari suatu pecahan diperoleh dengan cara, memangkatkan pembilang danpenyebutnya, atau dapat ditulis: = nnnaabb§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹ dengan n bilangan bulat dan a, b bilangan real
83Operasi AljabarContoh 2.9Tentukan hasil pemangkatan pecahan aljabar berikut.a.25x§· ̈ ̧©¹b.32axy§· ̈ ̧©¹c.3234aab§· ̈ ̧©¹Penyelesaian:a.22225525 = xxx§· ̈ ̧©¹b.33333333332(2)2 8()aaaaxyxyxyxy§· ̈ ̧©¹c.333223633(3)27 = 4(4)64aa aababab§· ̈ ̧©¹LATIHAN 2.8Nyatakan hasil baginya dalam bentuk paling sederhana.1.a.23x§· ̈ ̧©¹c.432a§· ̈ ̧©¹e.3223abac§· ̈ ̧©¹b.323ab§· ̈ ̧©¹d.353xyz§· ̈ ̧©¹f.43pqrt§· ̈ ̧©¹2.Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini.a.33562xy§·§· ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹c.32533xx§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹b.43323xx§· § · ̈ ̧ ̈ ̧©¹ © ¹d.23106aba§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹3.Selesaikanlah.a.2333xyxy§·§·u ̈ ̧ ̈ ̧©¹©¹ b. 3224 : 36aab§· §· ̈ ̧ ̈ ̧©¹ ©¹ c. 3437662 : 3186ababa§· ̈ ̧©¹3. Menyederhanakan Hasil Operasi Pecahan AljabarSuatu pecahan dikatakan sederhana apabila pembilang dan penyebutnya tidak memilikifaktor persekutuan selain 1. Untuk ini pembilang dan penyebut dibagi dengan FPB-nya.
84Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Untuk menyederhanakan hasil, perlu diperhatikan ketentuan-ketentuan berikut:1.ab + ac = a(b + c) = (b + c)a2.ab– ac = a(b – c) = (b – c)a3.abc a b cdddd Contoh 2.10Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini!a.12 164x b. 18 2412x c. 433364ababc d. 22233xyzxyzPenyelesaian:a.12 16121612 164(3 4) = + = 3 + 4 atau 3 + 444444xxx xxxb.18 2418243 21212122xxx c.4333333363 2 243abaabacabcabcd.2223 = 3xyzzxyzLATIHAN 91.Sederhanakanlah.a.3282abac.2222550xyxye.3232646(2)4abcabcb.232153pqpqd.335436abab2.Sederhanakanlah.a.10 + 155xd.2220 15 + 255pqpqpqpqb.3215 + 205xxxe.22322221 14 287abcbcbcb c.33238 164ppqp1
85Operasi AljabarD. PENERAPAN KONSEP ALJABAR DALAM PEMECAHANMASALAHBanyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang melibatkan perhitungan matematika.Masalah-masalah tersebut dapat diselesaikan dengan cara membuat model matematika yangberkaitan dengan masalah tersebut, baru kemudian dapat dicari hasilnya.Contoh 2.111.Harga 3 buah buku dan 5 pensil adalah Rp. 42.000,00. Jika harga sebuah bukuadalah 3 kali harga sebuah pensil, tentukanlah harga masing-masing pensil dan buku.Penyelesaian:Misalkan harga sebuah pensil = x rupiah maka harga 5 pensil = 5x rupiahharga sebuah buku adalah 3 kali harga sebuah pensil,maka harga sebuah buku = 3x rupiah.Jadi, harga 5 buah pensil = 5x rupiah dan harga 3 buah buku = 9x rupiah.Jadi, harga 3 buku dan 5 pensil adalah Rp. 42.000,00.Berarti 5x + 9x = Rp. 42.000,00, inilah yang disebut model matematikanya.5x + 9x =42.00014x =42.000x =3.000Jadi, harga sebuah pensil adalah Rp. 3.000,00 dan harga sebuah buku adalah3 u Rp. 3.000,00 = Rp. 9.000,00.2.Harga 8 kg jeruk dan 6 kg apel adalah Rp. 34.000,00. Harga 1 kg apel adalah 112kali harga 1 kg jeruk. Tentukanlah harga masing-masing per kilogramnya.Penyelesaian:Misalkan harga 1 kg jeruk = x rupiah, jadi harga 1 kg apel = 112ux rupiah.Harga untuk 8 kg jeruk adalah 8x rupiah dan harga untuk 6 kg apel adalah 9x rupiah.Jadi, model matematikanya adalah:8x + 9x = 34.000Hasilnya adalah:8x + 9x =34.00017x =34.000x =2.000Jadi, harga 1 kg jeruk adalah Rp. 2.000,00 dan harga 1 kg apel adalah Rp. 3.000,00.12
86Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7Contoh 2.12Sekarang umur seorang adik 5 tahun kurangnya dari umur kakak. Lima tahun kemudianjumlah umur kakak dan adik menjadi 35 tahun. Tentukanlah masing-masing umurnya.Penyelesaian:Misalkan umur kakak sekarang adalah x tahun, maka umur adik (x – 5) tahun.Lima tahun kemudian umur kakak x + 5 dan umur adik adalah (x – 5) + 5 = x tahun.Jumlah umur mereka 5 tahun lagi adalah 35 tahun, maka model matematikanya adalah:x + 5 + x = 35, kita lanjutkan penyelesaiannya2x + 5 =352x =30x =15Jadi, umur kakak sekarang adalah 15 tahun dan adik adalah 15 – 5 = 10 tahun.LATIHAN 2.101.Uang Boni 3 kali lebih banyak dari uang Joni. Boni memberikan uangnya pada Joni sebanyakRp. 1.300,00 sehingga uang mereka berdua menjadi sama besar. Tentukan besarnya uangBoni dan Joni yang mula-mula.2.Seorang pedagang buah membeli 15 kg jeruk dan 10 buah durian. Harga 1 kg jeruk Rp.2.000,00 kurangnya dari harga sebuah durian. Jika jumlah harga yang dibayarkan adalahRp. 245.000,00, tentukanlah harga sebuah durian dan 1 kg jeruk.3.Jumlah dua bilangan asli yang berurutan adalah 25. Tentukanlah bilangan-bilangan itu.4.Sebuah bilangan, jika ditambah 102 kemudian dibagi 3, maka hasilnya menjadi 6 kali bilanganitu. Tentukanlah bilangan itu.5.Usia Dinda sekarang adalah 4 kali usianya pada 4 tahun yang akan datang dikurangi dengan4 kali usianya 4 tahun yang lalu. Berapakah usia Dinda sekarang?
87Operasi Aljabar RINGKASAN1.Bentuk aljabar memuat variabel dan bilangan.2.Bentuk aljabar ax2 + bx + cterdiri dari 3 suku, yaitu ax2, bx, dan c. x merupakan variabel,a koefisien dari x2, bkoefisien dari x, sedangkan c merupakan konstanta.3.Penjumlahan atau pengurangan bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku sejenis.Misalnya 2a + 3b – a + 2b = a + 5b.4.Pada rumus perkalian suatu bilangan dengan suku dua atau lebih (a(bx + cy) = abx + acy.Misalnya 5(x + 2y) = 5x + 10y.5.Pada rumus perkalian suku dua dengan suku dua#(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd#(a – b)(c – d) = a(c – d) – b(c – d) = ac – ad – bc – bd#(a + b)(a + d) = a2 + (b + d)a + bd#(a – b)(a – d) = a2 – (b – d)a – bd#(a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2#(a – b)(a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab – b2#(a + b) (a – b) = a2 – b2#(a – b)(a + b) = a2 – b26.Rumus penjumlahan dan pengurangan bentuk pecahan aljabar., 0ababpppp z, 0ababpppp z7.Rumus perkalian dan pembagian pecahan bentuk aljabar.ac acbd bduu u : ac a c adbd b d bcu u u8.Rumus pemangkatan pecahan bentuk aljabar.nnnaabb§· ̈ ̧©¹
88Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 7 GLOSARIUMFaktorFaktor suku bentuk aljabar adalah bentuk aljabar lain yang dapat membagi habis bentukaljabar tersebut. Misalnya (x + 3) dan (x – 2) adalah faktor dari x2 + x – 6.VariabelSesuatu yang digunakan untuk menyatakan atau mewakili suatu bilangan biasanyadinyatakan dengan huruf .KoefisienBilangan yang mengandung variabel. Misalnya bentuk aljabar 3x2 – 2x, 3 adalah koefisiendari x2 dan –2 adalah koefisien dari x.KonstantaSebuah bilangan yang tidak mengandung variabel. Misalnya 2x + 3, 3 disebut konstanta.SukuBagian dari suatu persamaan aljabar. Misalnya 4x2 + 5x – 7 terdiri dari 3 suku, yaitu 4x2,5x2, dan –7.Suku satuBentuk aljabar yang terdiri dari suku satu disebut juga suku tunggal atau monomial.Suku duaBentuk aljabar yang terdiri dari dua suku disebut juga binomial.Suku tigaBentuk aljabar yang terdiri dari tiga suku disebut juga trinomial.Suku sejenisSuku-suku yang memiliki variabel dan pangkat variabel yang sama. Misalnyax3 + 3x2 – 4x3 – 6. x3 dan –4x3 disebut suku sejenis.Suku tidak sejenisSuku-suku yang memiliki variabel berbeda atau variabel yang sama tapi pangkatnya berbeda.Misalnya 3x2 + 2y dan 3x3 + 2x2.Sifat distributifax(b + c) = (aub) +(auc)ax(b – c) = (aub) – (auc), untuk semua a, b, dan c.
89Operasi AljabarLATIHAN PEMAHAMAN BAB 2I.Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.1.Banyak suku pada bentuk aljabar x3 – 3x2 + 2x – 3 adalah ....a. 6b. 5c. 4d. 32.Koefisien x dari bentuk aljabar 2x2 + 2ax – y + 5 adalah ....a. 2b. 2ac. –1d. 53.Bentuk sederhana dari 6x – 3y + 3x + 7y adalah ....a. 9x + 4yb.9x – 4yc. 3x + 10yd.3x – 10y4.Hasil penjumlahan 4x – 2y + 4 dengan 2x + 3y – 5 adalah ....a. 6x + y + 1c.6x + y – 1b. 6x – y + 1d.6x – y – 15.Jika 5x – 3y + 5 dikurangkan dari (2y – 3x – 2) hasilnya ....a. 7 + 5y + 8xc.7 – 5y – 8xb. –7 – 5y + 8d.–7 + 5y – 8x6.Jika a = –1, b = –3, dan c = 5, nilai dari –a2 + 2b– 3cadalah ....a. –22b.–12c.–10d.–47.Jika x – 5 = 2, maka nilai x + 3 adalah ....a. –8b.–4c.8d.108.Bentuk sederhana dari 5(x – 2y) – 3(x – 5y) adalah ....a. –2x – 5yc. 2x + 5yb. 5y – 2xd.2x – 5y9.Untuk x = –3 dan y = 2, nilai dari 3x + 2y – xy adalah ....a. 11b.6c.5d.110. Bentuk 12abc – 4ab dinyatakan sebagai hasil kali ....a. 12ab(c – 4)c.3ab(4c – 1)b. 4ab(3c – 1)d.12ab(c– 1)11. Hasil pengurangan 8p + 5q dari 2p– 4q adalah ....a. –6p – 9qc. 6p + 9qb. –6p + 9qd.6p – 9q12. Untuk p = 5x – x2 dan q = 4x2 + 3x. Nilai dari 2p – q adalah ....a. 6x2 – 7xc. 7x – 6x2b. 6x2 + 7xd.–7x – 6x213. Suatu persegi panjang memiliki panjang 18 cm dan lebar (x – 3) cm, luas 198 cm2, makakelilingnya adalah ....a . 48b.50c .54d.58 cm14.2322zxxyxyyzzuu = ....a.2xyb.3xyc.xyd.3y
90Penunjang Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas 715. Hasil perkalian 208 u 204 dapat ditentukan dengan mudah jika menggunakan sifat perkalian....a. (a + b)(a + b)c.(a+ b)(a + c)b. (a + b)(a– b)d.a(a+ b)16. Hasil perkalian 805 u 795 dapat dihitung dengan mudah apabila digunakan sifat ....a. (a + b)(a– b)c.(a + b)(a + b)b. (a + b)(a – b)d.a(a + b)17. 28x5y3z : (–42x3y) = ....a.2223xyzc.2223xyzxyb.2223xyzd.2223xyzxy18.232222(7 )49 : 25( 5 )yzyaxax = ....a. 7y5z2c. –5y5z2b. –7y5z2d.5y3z219. Hasil dari (2x – 5)2 adalah ....a. 4x2 – 20x + 25c.4x2 – 4x + 25b. 4x2 – 2x + 25d.4x2 –20x – 2520. Lebar suatu persegi panjang adalah 10 kurangnya dari panjangnya. Jika keliling persegipanjang itu 80 cm, maka luasnya adalah ....a. 475 cm2c.375 cm2b. 465 cm2d.365 cm2II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan jelas dan benar.1.Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut.a. 5(2x2 + 3x – 6) – (8x2 + 2x – 9)b.(3x – 5y + 5z) – (x – 6y + 2z)2.Kalikanlah bentuk aljabar di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana.a. (x + 3)(x + 7)c.(2x – 7)2b. (2x + 5)(x – 3)3.Dengan menggunakan sifat perkalian tentukanlah hasil kali dari:a. 72 u 78c.82 u 98b. 84 u 86d.1998 u 20024.Sederhanakanlah.a.2 32 334xxxxb. 5 3 153xxxx